Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E，AE=2，ED=4

【小題1】求證：△ABE∽△ADB；
【小題2】求AB的長
【小題3】延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【小題1】見解析
【小題2】
【小題3】見解析解析:
本題涉及的知識點有三角形的相似、直線和圓的位置關系。
解：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠BAE=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB………4分
（2）∵△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=．………4分
（3）直線FA與⊙O相切，………9分
理由如下：
連接OA，∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴，
BF=BO=，
∵AB=，
∴BF=BO=AB，
∴∠OAF=90°，
∴直線FA與⊙O相切．