Question

觀察下列各式．
13=1=

1

4

×12×22，
13+23=9=

1

4

×22×32，
13+23+33=36=

1

4

×32×42，
…
（1）猜想填空：13+23+33+…+n3=

1

4

×

n

²×

（n+1）

²
（2）求1³+2³+3³+4³+5³的值．

Answer 1

分析：（1）觀察已知的幾個式子可以得到規律：等號的左邊是從1開始的連續整數的立方和的形式，右邊是

1

4

與兩個數的平方的積，第一個是左邊的整數中的最大的一個，第二個是比這個數大1的相鄰的整數，據此規律即可求解；
（2）根據（1）的規律解答即可．

解答：解：（1）∵1³=1=

1

4

×1²×2²=

1

4

×1²×（1+1）²，
1³+2³=9=

1

4

×2²×3²=

1

4

×2²×（2+1）²，
1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²=

1

4

×3²×（3+1）²，
1³+2³+3³+4³=64=

1

4

×4²×5²=

1

4

×4²×（4+1）²，
…，
1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n²（n+1）²；

（2）1³+2³+3³+4³+5³=

1

4

×5²×（5+1）²=225．
故答案為：（1）

1

4

n²（n+1）²；（2）225．

點評：本題是對數字變化規律的考查，正確觀察已知的式子的特點，得到規律是解決本題的關鍵．