Question

如圖，已知：直線交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C（1，0）三點.

（1）求拋物線的解析式;
（2）若點D的坐標為（-1，0），在直線上有一點P,使ΔABO與ΔADP相似，求出點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）（1，2）（3）不存在

解析試題分析：依題意知直線交x軸于點A，則A坐標為（3,0）交于y軸于B，則B坐標為（0,3）。由因為點A、B、C都在拋物線上，所以分別把三點坐標代入拋物線y=ax²+bx+c可得拋物線解析式：
（2）如圖，依題意知，OB=OA=3，所以△ABO為等腰直角三角形。AD=4.過D作DP垂線交于AB于點P。連結PC。因為C為AD中等，CM為三線合一，所以△ADP∽△AMC∽△ABO。可求P為（1,2）
（3）設拋物線在x軸下端存在點E滿足ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積。設E坐標（x，y）1＜x＜3，y＜0.
易知，SΔADE=。
四邊形APCE的面積=S△ACP+S△ACE=
則2（-y）=2+（-y）。則-2y+y=2，解得y=-2。
頂點坐標為=所以y=-2不在拋物線上。
所以不存在點E。
考點：拋物線
點評：本題難度較大，主要考查學生對拋物線知識點的掌握，結合一次函數解決拋物線問題。