Question

如圖，已知：直線交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C（1，0）三點.

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點D的坐標為（-1，0），在直線上有一點P,使ΔABO與ΔADP相似，求出點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（1，2）（3）不存在，理由見解析

【解析】解：（1）：由題意得，A（3，0），B（0，3）

∵拋物線經過A、B、C三點，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點分別代入得方程組

 

解得：

∴拋物線的解析式為 

（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形,如圖所示，

若△ABO∽△AP₁D，則

∴DP₁=AD=4  ,

∴P₁

若△ABO∽△ADP₂ ，過點P₂作P₂ M⊥x軸于M，AD=4,

∵△ABO為等腰三角形, ∴△ADP₂是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P₂M，即點M與點C重合∴P₂（1，2）

（3）如圖設點E ，則

①當P₁(-1,4)時，

S_{四邊形AP1CE}=S_{三角形ACP1}+S_三角形ACE

 =  

             ∴    ∴

∵點E在x軸下方  ∴

代入得： ,即

∵△=(-4)²-4×7=-12<0

∴此方程無解

②當P₂（1，2）時，S_{四邊形AP2CE}=S_{三角形ACP2}+S_三角形ACE =    

              ∴    ∴

∵點E在x軸下方  ∴  代入得：

即 ，∵△=(-4)²-4×5=-4<0

∴此方程無解

綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E