Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分線，過A，C，D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE．
（1）求證：AC=AE；
（2）求△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）由圓O的圓周角∠ACB=90°，根據90°的圓周角所對的弦為圓的直徑得到AD為圓O的直徑，再根據直徑所對的圓周角為直角可得三角形ADE為直角三角形，又AD是△ABC的角平分線，可得一對角相等，而這對角都為圓O的圓周角，根據同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等可得CD=ED，利用HL可證明直角三角形ACD與AED全等，根據全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）先根據勾股定理求出AB的長，根據直角三角形斜邊的中點即是其外接圓的圓心即可得出結論．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB為圓O的圓周角（已知），
∴AD為圓O的直徑（90°的圓周角所對的弦為圓的直徑），
∴∠AED=90°（直徑所對的圓周角為直角），
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分線（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分線定義），
∴CD=DE（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，

CD=ED AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的對應邊相等）；

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，
∴AB=

AC2+CB2

=

52+122

=13，
∴△ABC外接圓的半徑=

1

2

AB=

1

2

×13=

13

2

．

點評：本題考查的是圓周角定理，涉及到勾股定理，全等三角形的判定與性質等知識，能•1靈活運用圓周角定理及勾股定理是解本題的關鍵．