Question

如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四個結論：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．請寫出正確結論的序號________（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

①③
分析：由已知條件，首先得到等腰三角形，利用線段的垂直平分線的性質進一步得到其它結論．
解答：∵AB=AC，AC=AD，
∴AB=AD
∵AC平分∠DAB
∴AC垂直平分BD，①正確；
∴DC=CB，
易知DC＞DE，
∴BC＞DE，②錯；
D、C、B可看作是以點A為圓心的圓上，
根據圓周角定理，得∠DBC=∠DAC，③正確；
當△ABC是正三角形時，∠CAB=60°
那么∠DAB=120°，
如圖所示是不可能的，所以錯誤．
故①③對．
點評：本題考查了等腰三角形的性質及垂直平分線的性質；利用等腰三角形的三線合一是常用的判斷方法；注意把圖形放入圓中解決可使問題簡化．