Question

（2005•海淀區）如圖所示，一根長2a的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設木棍的中點為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）請判斷木棍滑動的過程中，點P到點O的距離是否變化，并簡述理由．
（2）在木棍滑動的過程中，當滑動到什么位置時，△AOB的面積最大？簡述理由，并求出面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）木棍滑動的過程中，點P到點O的距離不會變化．根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可判斷；
（2）當△AOB的斜邊上的高h等于中線OP時，△AOB的面積最大，就可以求出．
解答：解：（1）不變．
理由：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，因為斜邊AB不變，所以斜邊上的中線OP不變；

（2）當△AOB的斜邊上的高h等于中線OP時，△AOB為等腰直角三角形時，面積最大，理由為：
證明：如圖，若h與OP不相等，則總有h＜OP，
故根據三角形面積公式，有h與OP相等時△AOB的面積最大，
此時，S_△AOB=．
所以△AOB的最大面積為a²．
點評：此題利用了在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；同時理解△AOB的面積什么情況最大是解決本題的關鍵．