Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8，tanB=2，CE⊥AB，垂足為點E（點E在邊AB上），F為邊AD的中點，聯結EF，CD．
（1）如圖1，當點E是邊AB的中點時，求線段EF的長；
（2）如圖2，設BC=x，△CEF的面積等于y，求y與x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當BC=16時，∠EFD與∠AEF的度數滿足數量關系：∠EFD=k∠AEF，其中k≥0，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別延長BA、CF相交于點P，證出===，PA=AB=8，得出AE=BE=AB=4，PE=PA+AE=12，再根據EC=BE•tanB=4×2=8，求出PC==4，最后根據在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=PC，即可得出EF=PC=2，
（2）在Rt△PEC中，先求出BE=EC，根據BC=x，BE²+EC²=BC²，得出BE=x，EC=2BE=x，AE=AB-BE=8-x，求出PE=PA+AE=16-x，最后由 PF=PC，得y=S_△EFC=•x（16-x），
（3）在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，根據F為邊AD的中點，得AF=DF=AD=8，FD=CD，∠DFC=∠DCF．根據AB∥CD，得∠DCF=∠P，∠DFC=∠P，在Rt△PEC中，根據∠PEC=90°，PF=PC，得EF=PF，∠AEF=∠P=∠DFC，最后根據∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF，得∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，即可得k=3．
解答：解：（1）分別延長BA、CF相交于點P，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵F為邊AD的中點，
∴===，
∴PA=AB=8，
∵點E是邊AB的中點，
∴AE=BE=AB=4，
∴PE=PA+AE=12，
∵CE⊥AB，
∴EC=BE•tanB=4×2=8．
∴PC===4，
在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=PC，
∴EF=PC=2，

（2）在Rt△PEC中，
∵tanB==2，
∴BE=EC，
∵BC=x，BE²+EC²=BC²，
∴BE=x，
∴EC=2BE=x，
∴AE=AB-BE=8-x，
∴PE=PA+AE=16-x，
∵PF=PC，
∴y=S_△EFC=•x（16-x）=-x²+x，（0＜x≤8），

（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，CD=AB=8，AD=BC=16，
∵F為邊AD的中點，
∴AF=DF=AD=8，
∴FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠P，
∴∠DFC=∠P，
在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=PC，
∴EF=PF，
∴∠AEF=∠P=∠DFC，
又∵∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
∵∠EFD=k∠AEF，
∴k=3．
點評：此題考查了四邊形綜合，用到的知識點是四邊形的性質、勾股定理、解直角三角形、三角形的面積等，關鍵是做出輔助線，構造直角三角形，求出線段的長．