Question

3．如圖，在△ABC中，BC=3$\sqrt{2}$，AC=5，∠B=45°，則下面結論正確的是①③④．
①∠C一定是鈍角；
②△ABC的外接圓半徑為3；
③sinA=$\frac{3}{5}$；
④△ABC外接圓的外切正六邊形的邊長是$\frac{{5\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 如圖1，作輔助線，構建三角形的高線，根據∠B=45°得△BDC是等腰直角三角形，求出BD和CD的長，利用勾股定理求出AD的長，計算∠A的正弦值，對③作出判斷；
利用計算AE的長，從而計算BE的長，與BC比較可以得出∠C為鈍角，對①作出判斷；
如圖2，根據同弧所對的圓心角是圓周角的2倍得：△AOC是等腰直角三角形，根據斜邊AC=5，可計算半徑OA的長，對②作出判斷；
如圖3，利用正六邊形的特殊性質得：△OEF是等邊三角形，從而根據半徑OA的長，計算DF的長，得出邊長EF，對④作出判斷．

解答 解：如圖1，過C作CD⊥AB于D，過A作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵BC=3$\sqrt{2}$，
∴BD=CD=3，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴sin∠BAC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
所以③正確；
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$CB•AE，
∴7×3=3$\sqrt{2}$AE，
AE=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（\frac{7\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{49}{2}}$＞BC=3$\sqrt{2}$=$\sqrt{18}$，
∴∠ACB＞90°，
即∠C一定是鈍角；
所以①正確；
如圖2，設△ABC的外接圓的圓心為O，連接OA、OC，
∵∠B=45°，
∴∠AOC=2∠B=90°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴OA=$\frac{5}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
則△ABC的外接圓半徑為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
所以②不正確；
如圖3，此正六邊形是△ABC的外接圓的外切正六邊形，
Rt△ODF中，由②得：OD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
由題意得：△OEF是等邊三角形，
∴∠OFE=60°，
tan60°=$\frac{OD}{DF}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{DF}$，
∴DF=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{6}$，
∴EF=2DF=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$，
則△ABC外接圓的外切正六邊形的邊長是$\frac{{5\sqrt{6}}}{3}$，
所以④正確，
故本題正確的結論有：①③④；
故答案為：①③④．

點評 本題考查了等邊三角形、正六邊形、外接圓、內切圓等知識點，解題的關鍵是正確地利用正六邊形中相等的元素和圓的性質．