Question

（2009•曾都區模擬）（1）如圖，在線段AB上取一點C（BC＞AC），分別以AC、BC為邊在同一側作等邊△ACD與等邊△BCE，連接AE、BD，則△ACE經過怎樣的變換（平移、軸對稱、旋轉）能得到△DCB？請寫出具體的變換過程；（不必寫理由）

（2）如圖，在線段AB上取一點C（BC＞AC），如果以AC、BC為邊在同一側作正方形ACDG與正方形CBEF，連接EG，取EG的中點M，設DM的延長線交EF于N，并且DG=NE；請探究DM與FM的關系，并加以證明；

（3）在第二題圖的基礎上，將正方形CBEF繞點C順時針旋轉（如圖），使得A、C、E在同一條直線上，請你繼續探究線段MD、MF的關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）容易根據已知條件證明△ACE≌△DCE，所以△ACE繞點C順時針旋轉60°后能得到△DCB；
（2）相等且垂直．根據已知得到DG=NE，MG=ME，而根據已知NB∥GD，現在就可以證明△MGD≌△MEN，從而得到DM=NM，而∠DFN=90°，從而得到，而NE=GD，GD=CD，可以推出NE=CD，∴FN=FD，可以得到FM⊥DM，所以DM與FM相等且垂直；
（3）相等且垂直．延長DM交CE于N，連接DF、FN，先證△MGD≌△MNE，可以得到DM=NM，NE=DG，再根據正方形的性質和全等三角形的性質可以得到DC=DG=NE，FC=FE，現在可以證明△DCF≌△NEF，然后利用全等三角形的性質就可以證FM=DM，FM⊥DM．
解答：解：（1）將△ACE繞點C順時針旋轉60°后能得到△DCB；

（2）如圖，相等且垂直．理由如下：
∵EF∥GD，
∴∠NEM=∠DGM，而EN=GD，GM=EM，
∴△MGD≌△MEN，
∴DM=NM，在Rt△DNF中，，
∵NE=GD，GD=CD，
∴NE=CD，
∴FN=FD，
即FM⊥DM，
∴DM與FM相等且垂直．

（3）如圖，MD與MF相等且垂直．理由如下：
延長DM交CE于N，連接DF、FN，
根據（2）可以得到△MGD≌△MNE，
∴DM=NM，NE=DG，
∵∠DCF=∠FEN=45°，DC=DG=NE，FC=FE，
∴△DCF≌△NEF，
∴DF=FN，∠DFC=∠NFE，
∴∠DFN=90°，即△FDN為等腰直角三角形，
∵DM=NM，即FM為斜邊DN的中線，
∴FM=DM=NM=DN，且FM⊥DN，
則FM=DM，FM⊥DM．
點評：此題是開放性試題，把圖形變換放在正方形的背景中，利用正方形的性質進行探究，然后找到圖形變換的規律．