Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位線，點F在AC延長上，且CF=AC．求證：四邊形ADEF是等腰梯形．

Answer 1

證明：證法一：∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，且DE=AC．
∴DE≠AF，
∴四邊形ADEF是梯形．
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BCA=∠ECF=90°．
∵CF=AC，
∴CF=DE，
又CE=BE，
∴△ECF≌△BED．
∴EF=BD，
又AD=BD，
∴AD=EF．
所以四邊形ADEF是等腰梯形．

證法二：證明梯形的方法同上．
連接CD．
∵D為AB中點，
∴CD=AB=AD．
∵DE∥CF，且DE=CF，
∴四邊形CDEF是平行四邊形．
∴CD=EF，
∴AD=EF，
∴四邊形ADEF為等腰梯形．
分析：先根據三角形的中位線定理，證得D四邊形ADEF是梯形；
再證得△ECF≌△BED，可得EF=BD，又AD=BD，∴AD=EF，則四邊形ADEF是等腰梯形．
點評：此題是利用中位線定理求證等腰梯形．
首先要證明所證四邊形是梯形，再證兩腰相等，是此種類型題的一般思路．