Question

觀察下列每對數在數軸上的對應點間的距離4與-2，3與5，-2與-6，-4與3．
并回答下列各題：
（1）你能發現所得距離與這兩個數的差的絕對值有什么關系嗎？答：______．|x-（-1）|=|x+1|；
（2）若數軸上的點A表示的數為x，點B表示的數為-1，則A與B兩點間的距離可以表示為______；
（3）結合數軸求得|x-2|+|x+3|的最小值為______，取得最小值時x的取值范圍為______；
（4）滿足|x+1|+|x+4|＞3的x的取值范圍為______．

Answer 1

解：（1）由觀察可知：所得距離與這兩個數的差的絕對值相等；
（2）結合數軸，我們發現應分以下三種情況進行討論．

當x＜-1時，距離為-x-1，

當-1＜x＜0時，距離為x+1，

當x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為|x+1|；
（3）當x＜-3時，|x-2|+|x+3|=2-x-（3+x）=-2x-1，此時最小值大于5；
當-3≤x≤2時，|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5；
當x＞2時，|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1，此時最小值大于5；
所以|x-2|+|x+3|的最小值為5，取得最小值時x的取值范圍為-3≤x≤2；
（4）由分析借助數軸，我們可以得到正確答案：x＜-4或x＞-1．
分析：（1）直接借助數軸可以得出；
（2）點B表示的數為-1，所以我們可以在數軸上找到點B所在的位置．那么點A呢？因為x可以表示任意有理數，所以點A可以位于數軸上的任意位置．那么，如何求出A與B兩點間的距離呢？
結合數軸，我們發現應分以下三種情況進行討論．

當x＜-1時，距離為-x-1，

當-1＜x＜0時，距離為x+1，

當x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為|x+1|；
（3）|x-2|即x與2的差的絕對值，它可以表示數軸上x與2之間的距離．|x+3|=|x-（-3）|即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數軸上x與-3之間的距離． 借助數軸，我們可以得到正確答案；
（4）同理|x+1|表示數軸上x與-1之間的距離，|x+4|表示數軸上x與-4之間的距離．本題即求，當x是什么數時x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會大于3．借助數軸，我們可以得到正確答案：x＜-4或x＞-1．
點評：借助數軸可以使有關絕對值的問題轉化為數軸上有關距離的問題，反之，有關數軸上的距離問題也可以轉化為絕對值問題．這種相互轉化在解決某些問題時可以帶來方便．事實上，|A-B|表示的幾何意義就是在數軸上表示數A與數B的點之間的距離．這是一個很有用的結論，我們正是利用這一結論并結合數軸的知識解決了（3）、（4）這兩道難題．