Question

若三角形的周長是19，且其三邊都是正整數，則滿足這種條件的三角形的個數為________．

Answer 1

10
分析：三角形的三邊中，等邊三角形三邊相等；除此外，必有一邊是最長邊；故可設三邊長分別為a≤b≤c，則a+b=19-c＞c，而且最大邊須滿足：②c≥，故可得c只能在7，8，9中選；
當c=7時，b=7，a=5或b=6，a=6；
當c=8時，b=8，a=3或b=7，a=4或b=6，a=5；
當c=9時，b=9，a=1或b=8，a=2或b=7，a=3或b=6，a=4或b=a=5．
解答：設三邊長分別為a≤b≤c，則a+b=19-c＞c≥，
∴≤c＜，故c=7，或8，或9；分類討論如下：
①當c=7時，b=7，a=5或b=6，a=6；
②當c=8時，b=8，a=3或b=7，a=4或b=6，a=5；
③當c=9時，b=9，a=1或b=8，a=2或b=7，a=3或b=6，a=4或b=a=5．
∴滿足條件的三角形的個數為10．
點評：本題屬競賽題型，且涉及分類討論的思想．解答的關鍵是找到三邊的取值范圍及對三角形三邊的理解把握．