Question

35、已知如圖AD為△ABC上的高，E為AC上一點BE交AD于F且有BF=AC，FD=CD．
求證：（1）△ADC≌△BDF；
（2）BE⊥AC．

Answer 1

分析：（1）因為AD為△ABC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°，又因為BF=AC，FD=CD，則可根據HL判定△ADC≌△BDF；
（2）因為△ADC≌△BDF，則有∠EBC=∠DAC，又因為∠DAC+∠ACD=90°，所以∠EBC+∠ACD=90°，則BE⊥AC．

解答：證明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵BF=AC，FD=CD，
∴△ADC≌△BDF（HL）．

（2）∵△ADC≌△BDF，
∴∠EBC=∠DAC．
又∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠EBC+∠ACD=90°．
∴BE⊥AC．

點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．發現并利用兩個直角三角形全等是正確解決本題的關鍵．