Question

（2005•菏澤）一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m²，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，請甲、乙兩位同學進行設計加工方案，甲設計方案如圖1，乙設計方案如圖2．你認為哪位同學設計的方案較好？試說明理由．（加工損耗忽略不計，計算結果中可保留分數）

Answer 1

【答案】分析：利用正方形的對邊平行．尋找相似三角形，由“相似三角形對應邊的比，等于對應邊上高的比”的性質，列出等量關系，計算正方形的邊長x、y，比較大小，選擇合理方案．
解答：解：由AB=1.5m，S_△ABC=1.5m²，可得BC=2m，
由圖1，若設甲設計的正方形桌面邊長為xm，
由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
∴，即，
∴3-1.5x=2x，x==，
由圖2，過點B作Rt△ABC斜邊AC上的高，
BH交DE于P，交AC于H．
由AB=1.5m，BC=2m，
得AC==2.5（m），
由AC•BH=AB•BC可得，
BH==1.2m，
設乙設計的桌面的邊長為ym，
∵DE∥AC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴，
即，解得y=，
∵=，
∵x²＞y²，
∴甲同學設計的方案較好．
點評：本題考查相似三角形的判定與性質的實際應用及分析問題、解決問題的能力．利用數學知識解決實際問題是中學數學的重要內容．解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題．