Question

關于x的一元二次方程x²-（m-3）x-m²=0．
（1）證明：方程總有兩個不相等的實數根；
（2）設這個方程的兩個實數根為x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|-2，求m的值及方程的根．

Answer 1

【答案】分析：（1）找出一元二次方程中的a，b及c，表示出b²-4ac，然后判斷出b²-4ac大于0，即可得到原方程有兩個不相等的實數根；
（2）利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，判斷出兩根之積小于0，得到兩根異號，分兩種情況考慮：若x₁＞0，x₂＜0，利用絕對值的代數意義化簡已知的等式，將表示出的兩根之和代入，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而確定出方程，求出方程的解即可；若x₁＜0，x₂＞0，同理求出m的值及方程的解．
解答：解：（1）一元二次方程x²-（m-3）x-m²=0，
∵a=1，b=-（m-3）=3-m，c=-m²，
∴△=b²-4ac=（3-m）²-4×1×（-m²）=5m²-6m+9=5（m-）²+，
∴△＞0，
則方程有兩個不相等的實數根；

（2）∵x₁•x₂==-m²≤0，x₁+x₂=m-3，
∴x₁，x₂異號，
又|x₁|=|x₂|-2，即|x₁|-|x₂|=-2，
若x₁＞0，x₂＜0，上式化簡得：x₁+x₂=-2，
∴m-3=-2，即m=1，
方程化為x²+2x-1=0，
解得：x₁=-1+，x₂=-1-，
若x₁＜0，x₂＞0，上式化簡得：-（x₁+x₂）=-2，
∴x₁+x₂=m-3=2，即m=5，
方程化為x²-2x-25=0，
解得：x₁=1-，x₂=1+．
點評：此題考查了一元二次方程根的判別式，以及根與系數的關系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當b²-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；當b²-4ac＜0時，方程沒有實數根．