Question

【題目】如圖，在中，，，，點(diǎn)P是射線BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為半徑的交射線BC于點(diǎn)D，直線PD交直線AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)，，設(shè)直線與直線BC交于點(diǎn)F．

當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，

求證：；

連結(jié)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；

連結(jié)AD，AF，當(dāng)恰為等邊三角形時(shí)，求此時(shí)四邊形的面積；

當(dāng)四邊形在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出BP的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析；②．（2）①．②．（3）．

【解析】

欲證明，利用等角的余角相等證明即可；如圖2中，作于H，連接交AC于點(diǎn)設(shè)，則易知，根據(jù)，可得，推出，由，可得，由此即可解決問(wèn)題；

分兩種情形分別求解即可：如圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)如圖4中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求解即可；

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)則，構(gòu)建方程求出m的值即可解決問(wèn)題.

證明：如圖1中，

，

，，

，

，

，

．

如圖2中，作于H，連接交AC于點(diǎn)設(shè)，則．

在中，，，，

，

，

，

，

，

，，

，

，

四邊形是菱形，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，連接AD，AF，作于H，連接交AC于點(diǎn)J．

是等邊三角形，，，

，

，，

，

四邊形PJCH是矩形，

，

，

．

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AD，AF，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，作于H，連接交AC于點(diǎn)J．

同法可得：，，

．

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)則

，

，

，

，

，

觀察圖象可知：當(dāng)四邊形在內(nèi)部時(shí)，BP的取值范圍為．