Question

已知：關于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+2m+1=0
（1）求證：方程有兩個實數根；
（2）設m＜0，且方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若y是關于m的函數，且y=，求這個函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，利用函數圖象求關于m的方程y+m-2=0的解．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數的根的判別式△=b²-4ac的符號來判斷方程的根的情況；
（2）由（1）知原方程有兩個實數根，所以根據求根公式和已知條件“m＜0，x₁＜x₂^”求得x₁、x₂的值，并將其代入y=，求得這個函數的解析式；
（3）把（2）的條件下是y值代入y+m-2=0求解即可．
解答：（1）證明：∵關于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+2m+1=0的二次項系數a=1，一次項系數是b=-2（m+1），常數項c=2m+1，
∴△=b²-4ac=4（m+1）²-8m-4=4m²≥0，
∴方程x²-2（m+1）x+2m+1=0有兩個實數根；

（2）∵原方程的根是：x==m+1±m，
又∵m＜0，方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），
x₁=2m+1，x₂=1，
∴y===-，
即y=-；

（3）∵y=-；
∴由y+m-2=0，得
-+m-2=0，即m²-2m-3=0，
∴（m-3）（m+1）=0，
∴m-3=0或m+1=0，
∴m=3（舍去），或m=-1．
故方程的解是m=-1．
點評：本題考查了根與系數的關系、根的判別式．在解（3）中的關于m的一元二次方程時，采用了分解因式法．