Question

已知關于x的一元二次方程k²x²+（1-2k）x+1=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂．
（1）求k的取值范圍；（2）當k為何值時，|x₁+x₂|-2x₁x₂=-3．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據方程由兩個不相等的實數根，則有△＞0，可列出不等式，求出k的取值范圍；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系可求出答案．
解答：解：（1）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac=（1-2k）²-4k²＞0，即1-4k＞0，
∴k＜且k≠0．
（2）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴x₁+x₂=，
x₁x₂=，
∴|x₁+x₂|-2x₁x₂=||-=-3，即|2k-1|=-3k²+2
當2k-1≥0，即k≥時，與（1）中k＜相矛盾，故舍去．
當2k-1＜0，即k＜時，|2k-1|=-3k²+2即1-2k=-3k²+2
解得k=-或k=1（舍去）．
故k=-時，|x₁+x₂|-2x₁x₂=-3成立．
點評：總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系及根與系數的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
（4）若一元二次方程有實數根，則x₁+x₂=-，x₁x₂=．