Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE。我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：
（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉任意角度，得到如圖2、如圖3情形。請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷。

（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4-6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb（a≠b，k>0），第（1）題①中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由。
（3）在第（2）題圖5中，連結DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE²+DG²的值。

Answer 1

解：（1）①BG=DE，BG⊥DE；
②BG=DE，BG⊥DE仍然成立
在圖2中證明如下
∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCG=∠DCE
∴△BCG≌△DCE（SAS）
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠DHO=90°
∴∠DOH=90°
∴BG⊥DE；
（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立
簡要說明如下：∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是矩形，且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka（a≠b，k＞0）
，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCG=∠DCE
∴△BCG∽△DCE
∴∠CBG=∠CDE
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠DHO=90°
∴∠DOH=90°
∴BG⊥DE；
（3））∵BG⊥DE
∴BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²
又∵a=3，b=2，k=

。