Question

已知E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥BD交CB的延長線于G．
（1）試說明△ADE≌△CBF；
（2）當四邊形AGBD是矩形時，請你確定四邊形BEDF的形狀并說明；
（3）當四邊形AGBD是矩形時，四邊形AGCD是等腰梯形嗎？直接說出結論．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質推出BC=AD，∠C=∠BAD，CD=AB，求出AE=CF，根據三角形的判定求出即可；
（2）根據平行四邊形的判定推出平行四邊形BEDF，再根據直角三角形斜邊上中線性質求出DE=BE即可；
（3）根據在Rt△DBC中，CD不可能等于BD，推出即可．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，BC=AD，∠C=∠BAD，CD=AB，
∵E、F是AB、CD的中點，
∴AE=CF，
在△BCF和△DAE中，

BC=AD ∠C=∠BAD AE=CF

，
∴△ADE≌△CBF．

（2）四邊形BEDF的形狀是菱形，
理由是：∵BE=DF，BE∥DF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
當四邊形AGBD為矩形時，∠ADB=90°，
∴DE=

1

2

AB=BE，
∴BEDF為菱形．

（3）答：四邊形AGCD不可能是等腰梯形．

點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，矩形的性質，等腰梯形的判定，直角三角形斜邊上的中線的性質，全等三角形的判定等知識點的應用，此題綜合性比較強，但難度不大，通過做此題培養了學生分析問題和解決問題的能力．