Question

已知：AB是⊙中長(zhǎng)為4的弦，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，cos∠APB＝．問(wèn)是否存在以A、P、B為頂點(diǎn)的面積最大的三角形？若不存在，試說(shuō)明理由；若存在，求出這個(gè)三角形的面積．

Answer 1

答案：
解析：

存在．∵AB不是直徑(否則∠APB＝，而由cos∠APB＝知∠APB＜，矛盾)．∴取優(yōu)弧的中點(diǎn)為P點(diǎn)，過(guò)P作PD⊥AB于D，則PD是圓上所有的點(diǎn)中到AB距離最大的點(diǎn)．∵AB的長(zhǎng)為定值，∴當(dāng)P為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，△APB的面積最大．連接PA、PB，則等腰三角形APB即為所求． 　　由作法知：圓心O必在PD上．如圖所示．連接AO，則由垂徑定理得AD＝AB＝2．又∠AOD＝∠1＋∠2，而∠2＝∠3，∠1＝∠2故∠AOD＝∠2＋∠1＝∠2＋∠3＝∠APB，即cos∠AOD＝，∴cos∠AOD＝＝，設(shè)OD＝x，OA＝3x，則AD＝＝2x，即2x＝2，故x＝＝．∴AO＝3x＝，OD＝x＝．∴PD＝OP＋OD＝OA＋OD＝＋＝2，∴S△APB＝AB·PD＝×4×2＝4．