Question

已知：如圖1，⊙O與射線MN相切于點M，⊙O的半徑為2，AC是⊙O的直徑，A與M重合，△ABC是⊙O的內接三角形，且∠C=30°，
計算：弦AB=______，的長度______（結果保留π）
探究一：如圖2，若⊙O和△ABC沿射線MN方向作無滑動的滾動，
（1）直接寫出：點B第一次在射線MN上時，圓心O所走過的路線的長______點B第二次在射線MN上時，圓心O所走過的路線的長______（結果保留π）
（2）過點A、C分別作AD⊥MN于D，CE⊥MN于E，連接OD、OE，小明通過作圖猜想：OD與OE相等，你認為小明的猜想正確嗎？請說明你的理由
探究二：
如圖3，將半徑為R、圓心角為50°的扇形紙片AOB，在射線MN的方向作無滑動的滾動至扇形A′O′B′處，則頂點O經過的路線總長為______（用含R的代數式表示，結果保留π）．

Answer 1

【答案】分析：計算：利用圓周角定理以及等邊三角形的判定得出AB的長，再利用弧長公式得出的長度；
探究一：（1）利用弧長公式分別求出O點所走過的路線即可；
（2）利用切線的性質定理以及銳角三角函數關系求出OD與OE即可；
探究二：仔細觀察頂點O經過的路線可得，頂點O經過的路線可以分為三段，分別求出三段的長，再求出其和即可．
解答：解：計算：如圖1：連接OB，
∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
又BO=OA，
∴△AOB是等邊三角形，
∵⊙O的半徑為2，
∴AB=AO=OB=2，
的長度為：=π，
故答案為：2，π；

探究一：（1）點B第一次在射線MN上時，圓心O所走過的路線的長為的長度為：=π，
點B第二次在射線MN上時，圓心O所走過的路線的長為：π+2π×2=π；
故答案為：π，π；

（2）作圖如圖2所示：
OD=OE，
證明：連接OB，
∵MN與⊙O相切于點B，∴OB⊥MN，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，AB=AC=2，BC=2，
∵AO=BO，
∴△AOB是等邊三角形，∴∠ABO=60°∴∠ABD=30°
在Rt△ADB中，BD=AB•cos30°=
顯然∠CBE=60°，
在Rt△BEC中，BE=BC•cos60°=，
∴BD=BE，
∴OD=OE；

探究二：
如圖3所示：

頂點O經過的路線可以分為三段，當弧AB切直線l于點B時，有OB⊥直線l，此時O點繞不動點B轉過了90°，滾動距離為；
第二段：OB⊥直線l到OA⊥直線l，O點繞動點轉動，而這一過程中弧AB始終是切于直線l的，所以O與轉動點P的連線始終⊥直線l，所以O點在水平運動，此時O點經過的路線長=BA′=AB的弧長=R，
第三段：OA⊥直線l到O點落在直線l上，O點繞不動點A轉過了90°，滾動距離為；
所以，O點經過的路線總長S=R+πR+R=πR．
故答案為：πR．
點評：此題主要考查了弧長公式的應用以及圓周角定理和銳角三角函數關系等知識，本題關鍵是理解頂點O經過的路線可得，則頂點O經過的路線總長為三個扇形的弧長．