Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=6，∠C=30°.點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）.過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF.

（1）求證：AE=DF.（2分）
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明現由.（5分）
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.（5分）

Answer 1

（1）因為DF=t又∵AE=t得AE="DF"  
（2）當t=4時，四邊形AEFD為菱形
（3）當t=3或時，△DEF為直角三角形

試題分析：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF="t."
又∵AE=t，∴AE="DF"
（2）能.理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.
又AE=DF，∴四邊形AEFD為平行四邊形.
∵∠B=90°，∠C=30°，∴AC=2AB，AB²+BC²=AC²=4AB²，
∵BC=6，∴AB=6，AC=12，∴AD=AC－DC=12－2 t
若使平行四邊形AEFD為菱形，則需AE=AD，
∴t=12－2t，解得t=4，即當t=4時，四邊形AEFD為菱形
（3）①∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形.
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE，即12－2t=2t，t=3
②∠DEF=90°時，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=90°－∠C=60°，∠AED=30^o，∴AD=AE.
即12－2t=t，∴t=
③∠EFD=90°時，此種情況不存在.
綜上所述，當t=3或時，△DEF為直角三角形。
點評：本題考查菱形，直角三角形，解答本題需要考生掌握菱形的判定方法，會證明一個四邊形是菱形，以及直角三角形的判定方法