Question

【題目】如圖，點是線段上的任意一點(點不與點重合)，分別以為邊在直線的同側作等邊三角形和等邊三角形，與相交于點，與相交于點．

(1)求證: ；

(2)求證: ；

(3)若的長為12cm，當點在線段上移動時，是否存在這樣的一點，使線段的長度最長?若存在,請確定點的位置并求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 見解析；(3) 存在,請確定C點的位置見解析，MN=3．

【解析】

（1）根據題意證明△DCB≌△ACE即可得出結論；

（2）由題中條件可得△ACE≌△DCB，進而得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等邊三角形，即可得出結論；

（3）可先假設其存在，設AC=x，MN=y，進而由平行線分線段成比例即可得出結論．

解：（1）∵△ACD與△BCE是等邊三角形，

∴AC=CD，CE=BC，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE與△DCB中，

，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴DB=AE；

（2）∵△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠BDC，
在△ACM與△DCN中，

，

∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等邊三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°
即MN∥AB；

（3）解：假設符合條件的點C存在，設AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，

∴，

即，

，

當x=6時，ymax=3cm，

即點C在點A右側6cm處，且MN=3．