Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD⊥BC于D，以A為圓心，AD為半徑畫⊙O與AB、AC分別相交于點G、F，與CA的延長線交于點E，連接BE．
（1）求證：BE是⊙A的切線；
（2）連接DG、DF，判斷四邊形AGDF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形性質求出∠EAB=∠DAB，根據SAS證△EAB≌△DAB，推出∠AEB=∠ADB=90°，根據切線判定推出即可；
（2）根據等邊三角形的判定得出等邊三角形△AGD、△AFD，推出AG=GD=AD=DF=AF，根據菱形判定推出即可．
解答：（1）證明：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠EAB=60°=∠BAD，
∵在△AEB和△ADB中

∴△AEB≌△ADB（SAS），
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即AE⊥BE，
∵AE為半徑，
∴BE是⊙O的切線；

（2）解：四邊形AGDF的形狀是菱形．理由如下：
∵∠BAD=∠CAD=60°，AG=AD=AF，
∴△AGD、△AFD是等邊三角形，
∴AG=GD=AD=DF=AF，
即AG=GD=DF=AF，
∴四邊形AGDF是菱形．
點評：本題考查了切線的判定，等腰三角形性質，等邊三角形性質和判定，菱形判定的應用，主要考查學生的推理能力．