Question

【題目】如圖1，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M．

（1）求證：△ABQ≌△CAP；

（2）當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數．

（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，直接寫出它的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變．理由見解析.（3）不變，理由見解析.

【解析】試題分析：(1)、根據等邊三角形可得∠ABQ=∠CAP，AB=CA，根據速度相同可得AP=BQ，從而得出三角形全等；(2)、根據△ABQ≌△CAP得出∠BAQ=∠ACP，然后根據∠QMC=∠BAQ+∠MAC得出答案；(3)、根據△ABQ≌△CAP得出∠BAQ=∠ACP，然后根據∠QMC=∠BAQ+∠MAC得出答案.

試題解析：(1)、∵△ABC是等邊三角形 ∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA， 又∵點P、Q運動速度相同，

∴AP=BQ， 在△ABQ與△CAP中，AB=AC，∠ABQ=∠CAP，AP=BQ ∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

(2)、點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變．

理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP， ∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°

(3)、點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動時，∠QMC不變．

理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP， ∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，

∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°