Question

25、在△ABC中，AB邊的垂直平分線交直線BC于點D，垂足為點F，AC邊的垂直平分線交直線BC于點E，垂足為點G．
（1）當∠BAC=100°（如圖）時，∠DAE=

20°．

°；
（2）當∠BAC為一任意角時，猜想∠DAE與∠BAC的關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根據AB邊的垂直平分線交直線BC于點D，垂足為點F，AC邊的垂直平分線交直線BC于點E，垂足為點G可知∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由三角形內角和定理及∠BAC=100°列出關系式，求出∠DAE的值即可；
（2）由于△ABC形狀不能確定，故應分∠BAC≥90°、∠BAC＜90°兩種情況進行分類討論．

解答：解：（1）∵AB邊的垂直平分線交直線BC于點D，垂足為點F，AC邊的垂直平分線交直線BC于點E，垂足為點G，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE①，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAE+∠DAE=180°②，∠BAD+∠CAE+∠DAE=100°③，
①②③聯立得∠DAE=20°；（2分）

（2）∠DAE=2|90°-∠BAC|（4分）
或∠DAE=2∠BAC．（5分）
即當∠BAC≥90°時，∠DAE=2（∠BAC-90°）；
當∠BAC＜90°且∠B及∠C均為銳角時，
∠DAE=2（90°-∠BAC）；
當∠BAC＜90°且∠B、∠C兩者之一為鈍角時，
∠DAE=2∠BAC．
證明：（I）①當∠BAC＞90°時，如圖1，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠B+∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
∵DF垂直平分AB，
∴DB=DA，
∴∠B=∠1．同理得∠C=∠3，代入式，得：2∠B+∠2+2∠C=180°，
∠2=180°-2（∠B+∠C）=180°-2（180°-∠BAC）=2（∠BAC-90°），（7分）
即∠DAE=2（∠BAC-90°）；

②當∠BAC=90°時，如圖2，此時，點D、E重合，即
∠DAE=0°，而∠BAC-90°=0°，
∴∠DAE=2（∠BAC-90°）（8分）
（II）當∠BAC＜90°且∠B及∠C均為銳角時，①點D、E均在線段BC上，
如圖3，∵∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠B+∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
∵DF垂直平分AB，∴DB=DA，
∴∠B=∠1+∠2，∴∠1=∠B-∠2，
同理得∠3=∠C-∠2，代入上式，得∠B+（∠B-∠2）+∠2+（∠C-∠2）+∠C=180°，
整理得∠2=2（∠B+∠C-90°）=2（180°-∠BAC-90°）=2（∠BAC-90°），
即∠DAE=2（90°-∠BAC）；（10分）
②當點D在線段BC上，點E在線段CB的延長線上（如圖4）時，
∵EG垂直平分AC，
∴EC=EA，∠C=∠EAC，即∠C=∠1+∠2+∠3，
兩邊都加∠2，得∠C+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2，而DA=DB，
∴∠2=∠ABC，上式即為∠ABC+∠C=∠DAE+∠BAC，
∴∠DAE=∠ABC+∠C-∠BAC=180°-∠BAC-∠BAC=2（90°-∠BAC），
即∠DAE=2（90°-∠BAC）；
③當點E在線段BC上，點D在線段BC的延長線上（如圖5）時，
∵DF垂直平分AB，
∴DB=DA，∠B=∠BAD，即∠B=∠1+∠2+∠3，
兩邊都加∠2，得∠B+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2，而EA=EC，
∴∠2=∠ACE，上式即為∠B+∠ACB=∠BAC+∠DAE，
∴∠DAE=∠B+∠ACB-∠BAC=180°-∠BAC-∠BAC=2（90°-∠BAC），
即∠DAE=2（90°-∠BAC）；
④當點D、E分別在線段BC的延長線和反向延長線上（如圖6）時，∠2+∠ABC+∠ACB=180°，等式兩邊都加上∠1+∠2+∠3，得
（∠1+∠2+∠3）+∠2+∠ABC+∠ACB=180°+（∠1+∠2+∠3），由∠1+∠2=∠ACB，∠2+∠3=∠ABC，∠1+∠2+∠3=∠DAE，得2（∠ABC+∠ACB）=180°+∠DAE，
整理得∠DAE=2（90°-∠BAC）；
⑤當點D與點C重合（如圖7）時，∠DAE=∠1+∠2，兩邊都加上∠2，得∠DAE+∠2=∠1+∠2+∠2，由∠2=∠BAC=∠ABC，∠1+∠2=∠BCA，得∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠ABC，∠DAE+∠BAC=180°-∠BAC，得∠DAE=2（90°-∠BAC）；
⑥當點E與點B重合（如圖8）時，∠DAE=∠1+∠2，兩邊都加上∠1，得∠DAE+∠1=∠1+∠2+∠1，由∠1=∠BAC=∠ACB，∠1+∠2=∠ABC，得∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠ABC，∠DAE+∠BAC=180°-∠BAC，得∠DAE=2（90°-∠BAC）；

⑦當點D與C重合，點E與B重合時，如圖9，由已知條件得BA=BC，CA=CB，從而△ABC為等邊三角形，∠DAE=∠A=60°=2（90°-60°）=2（90°-∠A），即∠DAE=2（90°-∠BAC）；（12分）
（III）當∠BAC＜90°且∠B或∠C之一為鈍角時，①設∠ACB為鈍角，如圖10，
∵EG垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴∠ACE=∠3，
又∵∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+∠1+∠2，即∠3=∠B+∠1+∠2，兩邊都加上∠2，
∠3+∠2=∠B+∠1+∠2+∠2，
∵∠3+∠2=∠DAE，∠1+∠2=∠BAC，∠1=∠B，代入得：∠DAE=∠1+∠1+∠2+∠2=2（∠1+∠2）=2∠BAC，即∠DAE=2∠BAC；②當點D與點C重合（∠ACB為鈍角）時，如圖11，
∵EA=EC，
∴∠2=∠ACE，
∵∠ACE=∠1+∠B=2∠1，即∠DAE=2∠BAC；
③當∠ABC為鈍角時，如圖12，
∵∠1=∠ABD，而∠ABD=∠2+∠3+∠C，
∴∠1=∠2+∠3+∠C，兩邊都加∠2，得
∠1+∠2=∠2+∠3+∠C+∠2，∠DAE=∠BAC+∠BAC=2∠BAC；
④當點E與點B重合（∠ABC為鈍角）時，如圖13，
∵DA=DB，∴∠1=∠ABD，∵∠ABD=∠2+∠C=2∠2，即∠DAE=2∠BAC；（14分）
綜上所述，得∠DAE=2（∠BAC-90°）或∠DAE=2（90°-∠BAC）或∠DAE=2∠BAC，即∠DAE=2|90°-∠BAC|或∠DAE=2∠BAC．

點評：本題考查的是線段垂直平分線及三角形外角的性質，在解答此題時由于△ABC的形狀不能確定，故應進行分類討論．