Question

在△ABC中，AB邊的垂直平分線交BC于點D，垂足為點F，AC邊的垂直平分線交BC于點E，垂足為點G．
（1）當∠BAC=100°時，求∠DAE=________°；
（2）當∠BAC為鈍角時，猜想∠DAE與∠BAC的關系：________．

Answer 1

解：（1）∵DF垂直平分AB，
∴AD=AB，
∴∠BAD=∠B，
又EG垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C，
由∠BAC=100°，得到∠B+∠C=80°，
∴∠BAD+∠CAE=80°，
則∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=100°-80°=20°；

（2）∵DF垂直平分AB，
∴AD=AB，
∴∠BAD=∠B，
又EG垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-∠BAC，
則∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）
=∠BAC-（∠B+∠C）
=∠BAC-（180°-∠BAC）
=2（∠BAC-90°）．
故答案為：20°；∠DAE=2（∠BAC-90°）
分析：（1）由DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，根據線段垂直平分線的性質，分別得到AD與BD相等，AE與CE相等，然后再利用等邊對等角分別得到∠BAD與∠B相等，∠EAC與∠C相等，由∠BAC的度數，利用三角形的內角和定理求出∠B+∠C，利用∠BAC減去∠BAD與∠EAC的和，等量代換即可求出值；
（2）根據第一問的思路，同理可表示出∠DAE與∠BAC的關系．
點評：此題考查了線段垂直平分線的性質，屬于探究型題，此題的一般解法是充分抓住已知條件或圖形的特征，找準問題的突破口，由淺入深，多角度，多側面探尋，聯想符合題設的有關知識，合理組合發現新結論．讓學生經歷了由特殊到一般的推理過程，培養了學生的發散思維能力．