Question

如圖，直線y=kx+b經過A（6，0），B（0，8）兩點，且與直線y=

4

3

x交于點C，點P從原點出發，以每秒1個單泣的速度沿y軸向上運動，當點P與B點重合時停止運動．過點P作x軸的平行線，分別交直線OC、AB于D、E兩點，以DE為邊向下作正方形DEFG，設正方形DEFG與△AOC重疊部分的面積為S（平方單位），點P的運動時間為t（秒）．
（1）當t=l時，S=

 

；當t=3時，S=

 

；當t=5時，S

 

；
（2）求t取何值時，S有最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）求出正方形與△ACD重疊部的寬，再與DE相乘即可求出S與t之間的函數關系式．即可得出當t=1，3，5時S的值；
（2）根據（1），分別列出個段的函數關系式，利用二次函數的性質便可得出S的最大值．

解答：解：根據題意，直線y=kx+b經過A（6，0），B（0，8）兩點，
即可得出y=-

4

3

x+8，
聯立直線y=

4

3

x，
即點C（3，4）；
（1）當t=1時，OP=1，即點D、E是縱坐標為1，又點D在直線y=

4

3

x上
即點D的橫坐標為

3

4

，
同理點E的橫坐標為

21

4

，
故DE=4.5＞1
此時S=OP•DE=4.5；
同理當t=3時，即有OP=3，點D、E是縱坐標為3，分別代入各直線方程，
即可得出點D（

15

4

，3）、E（

9

4

，3）
即有DE=1.5＜3；
此時S=DE²=2.25；
當t=5時，可得D（

9

4

，5）、E（

15

4

，5）
即DE=1.5，
所以S=DE•（DE-1）=0.75；

（2）當0＜t≤4時，即PO=t，
可得D（

3

4

(8-t)，t），E（

3

4

t，t）
即DE=6-

3

2

t，
當DE=t時，得t=2.4
當t＜2.4時，S=DE•OP=-

3

2

t2+6t=-

3

2

（t-2）²+6
可知當t=2時，S有最大值，S=6；
當2.4≤t≤4時，S=DE²=

9

4

（t-4）²
即當t=2.4時，S有最大值，S=5.76
∴S的最大值為5.76．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定，以及學生數形結合的數學思想方法．本題還考查了學生對題意的準確把握，要求學生具備一定的數學計算和分析能力，是一道數學綜合性題目．