Question

【題目】如圖：AB是⊙O的直徑，AC交⊙O于G，E是AG上一點，D為△BCE內心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)求證：DF＝DG．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）利用三角形內心性質得∠EBD＝∠CBD．加上∠DBE＝∠BAD，則∠CBD＝∠BAD，根據圓周角定理得到∠BDA＝90°．然后證明∠ABC＝90°．于是根據切線的判定定理可判斷BC是⊙O的切線；

（2）連接ED，如圖，則∠BED＝∠CED，再證明∠EFD＝∠EGD，從而可判斷△DFE≌△DGE．于是得到DF＝DG．

(1)∵點D為△BCE的內心，

∴BD平分∠EBC．

∴∠EBD＝∠CBD．

又∵∠DBE＝∠BAD，

∴∠CBD＝∠BAD．

又∵AB是圓的直徑，

∴∠BDA＝90°．

在Rt△BAD中，∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠CBD+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°．

∴BC⊥AB．

又∵AB為直徑，

∴BC是圓的切線；

(2)連接ED，如圖，則ED平分∠BEC，

∴∠BED＝∠CED．

∵∠EFD為△BFD的外角

∴∠EFD＝∠ADB+∠EBD＝90°+∠EBD，

又∵四邊形ABDG為圓的內接四邊形，

∴∠EGD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣(90°﹣∠CDB)＝90°+∠CDB

又∵∠EBD＝∠CBD，

∴∠EFD＝∠EGD

又∵ED＝ED，

∴△DFE≌△DGE(AAS )．

∴DF＝DG．