Question

如圖，拋物線y=ax²+x+c與x軸交于點A（4，0）、B（-1，0），與y軸交于點C，連接AC，點M是線段OA上的一個動點（不與點O、A重合），過點M作MN∥AC，交OC于點N，將△OMN沿直線MN折疊，點O的對應點O′落在第一象限內，設OM=t，△O′MN與梯形AMNC重合部分面積為S．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①當點O′落在AC上時，請直接寫出此時t的值；
②求S與t的函數關系式；
（3）在點M運動的過程中，請直接寫出以O、B、C、O′為頂點的四邊形分別是等腰梯形和平行四邊形時所對應的t值．

Answer 1

（1）y=-x²+x+2；（2）2，S=t²；（3），．

解析試題分析：（1）應用待定系數法即可求得解析式．
（2）①根據平行線的性質及軸對稱的性質求得∠AO′M=∠O′AM，從而求得OM=AM=，進而求得t的值；②根據平行線分線段成比例定理求得ON=，即可求得三角形的面積S=t²；
（3）根據直線BC的斜率即可求得直線OO′的解析式y=2x，設O′（m，2m），根據O′N=t先求得m與t的關系式，然后根據O′C=OB即可求得．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+x+c與x軸交于點A（4，0）、B（-1，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式：y=-x²+x+2；
（2）①如圖1，

∵MN∥AC，
∴∠OMN=∠O′AM，∠O′MN=AO′M
∵∠OMN=∠O′MN，
∴∠AO′M=∠O′AM，
∴O′M=AM，
∵OM=O′M，
∴OM=AM=t，
∴t=；
②由拋物線的解析式：y=-x²+x+2可知C（0，2）
∵A（4，0）、C（0，2），
∴OA=4，OC=2，
∵MN∥AC，
∴ON：OM=OC：OA=2：4=1：2，
∴ON=OM=t，
∴S=．
（3）如圖2，

∵B（-1，0），C（0，2），
∴直線BC的斜率為2，
∵OO′∥BC，
∴直線OO′的解析式為y=2x，
設O′（m，2m），
∵O′N=ON=t，
∴O′N2=m2+（2m-t）²=（）²，
∴t=m，
∴O′C2=m2+（2-2m）2，
∵OB=O′C，
∴m2+（2-2m）2=（-1）2，
解得m1=1，m2=，
∴O′（1，2）或（，），
∵C（0，2），
∴當O′（1，2）時，以O、B、C、O′為頂點的四邊形是平行四邊形，此時t=，
當O′（，）時，以O、B、C、O′為頂點的四邊形是梯形，此時t=．
考點：二次函數綜合題．