Question

已知：拋物線 的頂點為A，與x軸的交點為B，C（點B
在點C的左側）.
(1)直接寫出拋物線對稱軸方程；
（2）若拋物線經過原點，且△ABC為直角三角形，求a，b的值；
（3）若D為拋物線對稱軸上一點，則以A，B，C，D為頂點的四邊形能否為正方形？若能，請寫出a，b滿足的關系式；若不能，說明理由.

Answer 1

解：（1）拋物線對稱軸方程：.           ………2分
（2）設直線與軸交于點E,則E（2,0）.
∵拋物線經過原點， ∴B(0,0),C(4,0).        ………3分
∵△ABC為直角三角形，根據拋物線的對稱性可知,
∴,
∴A(2,-2)或(2,2).
當拋物線的頂點為A(2,-2)時，，把(0,0)代入，得：，此時，.                               ………5分
當拋物線的頂點為A(2,2)時，，把(0,0)代入，得：，此時，.
∴，或，. ………7分
（3）依題意，B、C關于點E中心對稱，當A,D也關于點E對稱，且時，四邊形ABDC是正方形.
∵，  ∴，  ∴，
把代入，得     ，
∵，   ∴.                               ………10分

解析