Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，P是CD邊上的一點，AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA，若AD=50mm，AP=80mm．
（1）判斷△APB是什么三角形，證明你的結論；
（2）比較DP與PC的大小；
（3）畫出以AB為直徑的⊙O，交AD于點E，連接BE與AP交于點F，求tan∠AFE的值；
（4）點O′在線段AB上移動，以O’為圓心作⊙O′，使⊙O′與邊AP相切，切點為M，設⊙O′的半徑為m，當m為何值時，⊙O′與AP、BF都相切？

Answer 1

解：（1）直角三角形，
證明：∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴∠APB=180°-90°=90°，
∴△APB是直角三角形．

（2）相等，
理由是：∵平行四邊形ABCD，
∴DC∥AB，AD=BC，
∴∠DPA=∠PAB，∠CPB=∠PBA，
∵AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=∠DAP，∠PBC=∠PBA，
∴∠DPA=∠DAP，∠CPB=∠CBP，
∴DP=AD，CP=BC，
∴DP=CP．


（3）∵AB是圓Q的直徑，
∴∠AEB=∠APB=90°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠BAP，
∴△AEF∽△APB，
∴∠AFE=∠APB，
∵平行四邊形ABCD，
∴DC∥AB，
∴∠ABP=∠BPC，
∵AD=50，
∴AB=2AD=100，
在△APB中，由勾股定理得：PB=60，
∴tan∠AFE=tan∠APB==．

（4）∵AP=80，AB=2AD=100，
在△APB中，由勾股定理得：BP=60，
過P作PH⊥AB于H，
由三角形的面積公式得：AP×BP=AB×PH，
∴PH=48，
由平行四邊形的面積公式得：AD×BE=AB×PH，
BE=96，
在△ABE中，由勾股定理得：AE==28，
∵tan∠AFE=，
∴tan∠EAF=tan∠FAB=，
∴=，
∵O′M=m，
∴AO′=m，
BO′=100-m，
過O′作O′N⊥BF于N，
則O′N=m，
∵O′N∥AE，
∴=，
∴=，
解得：m=，
答：m為時，⊙O′與AP、BF都相切．
分析：（1）根據平行四邊形性質推出∠DAB+∠ABC=180°，根據角平分線定義求出∠PAB+∠PBA=90°，根據三角形的內角和定理求出即可；
（2）根據平行線的性質推出∠DA=∠PAB，推出∠DPA=∠DAP即可；
（3）證△AEF∽△APB，推出∠AFE=∠APB，證∠ABP=∠BPC，根據勾股定理求出BP，即可求出答案；
（4）過P作PH⊥AB于H，過O′作O′N⊥BF于N，求出高PH長，根據平行四邊形面積求出BE，根據勾股定理求出AE，求出AO′=m，根據O′N∥AE，得出比例式=，代入求出即可．
點評：本題綜合考查了對平行四邊形的性質，銳角三角函數，三角形的面積，勾股定理，切線的性質和判定，角平分線定義，三角形的內角和定理等知識點的應用，此題綜合性比較強，有一定的難度，對學生提出較高的要求，綜合運用這些性質進行推理和計算是解此題的關鍵．