Question

在正方形ABCD中，過點A引射線AH，交邊CD于點H（點H與點D不重合）．通過翻折，使點B落在射線AH上的點G處，折痕AE交BC于E，延長EG交CD于F．
[感知]如圖①，當點H與點C重合時，可得FG=FD．
[探究]如圖②，當點H為邊CD上任意一點時，猜想FG與FD的數量關系，并說明理由．
[應用]在圖②中，當AB=5，BE=3時，利用探究的結論，求FG的長．

Answer 1

分析：[探究]連接AF，根據圖形猜想FD=FG，由折疊的性質可得AB=AG=AD，再結合AF為△AGF和△ADF的公共邊，從而證明△AGF≌△ADF，從而得出結論．
[應用]設FG=x，則FC=5-x，FE=3+x，在RT△ECF中利用勾股定理可求出x的值，進而可得出答案．

解答：解：猜想FD=FG．
證明：連接AF，
由折疊的性質可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，

AG=AD AF=AF

，
∴△AGF≌△ADF．
故可得FG=FD．
[應用]設FG=x，則FC=5-x，FE=3+x，
在Rt△ECF中，EF²=FC²+EC²，即（3+x）²=（5-x）²+2²，
解得x=

5

4

．
即FG的長為

5

4

．

點評：本題考查了翻折變換及正方形的性質，掌握△AGF≌△ADF始終不變是解答本題的關鍵，另外在進行結論的應用時，得出Rt△EFC的各邊后運用勾股定理進行求解時，要細心避免出錯．