Question

如圖1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉．
（1）如圖2，當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，FN的長度，猜想BM，FN滿足的數量關系，并證明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋轉到如圖3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形和等腰直角三角形的性質可證明△OBM≌△OFN，所以根據全等的性質可知BM=FN；
（2）同（1）中的證明方法一樣，根據正方形和等腰直角三角形的性質得OB=OF，∠MBO=∠NFO=135°，∠MOB=∠NOF，可證△OBM≌△OFN，所以BM=FN．
解答：（1）BM=FN．
證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF，
在△OBM與△OFN中，，
∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN；

（2）BM=FN仍然成立．
證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，
∴∠MBO=∠NFO=135°，
在△OBM與△OFN中，，
∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN．
點評：本題考查旋轉知識在幾何綜合題中運用，旋轉前后許多線段相等，本題以實驗為背景，探索在不同位置關系下線段的關系，為中考常見的題型．