Question

如圖在平面直角坐標系內，點A與C的坐標分別為（4，8），（0，5），過點A作AB⊥x軸于點B，過OB上的動點D作直線y=kx+b平行于AC，與AB相交于點E，連接CD，過點E作直線EF∥CD，交AC于點F．
（1）求經過點A，C兩點的直線解析式；
（2）當點D在OB上移動時，能否使四邊形CDEF成為矩形？若能，求出此時k、b的值；若不能，請說明理由；
（3）如果將直線AC作向下平移，交y軸于點C′，交AB于點A′，連接DC′，過點E作EF′∥DC′，交A′C′于點F′，那么能否使四邊形C′DEF′成為正方形？若能，請求出此時正方形的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知A、C兩點坐標，用待定系數求出解析式；
（2）D在OB上移動，設出D點坐標，根據矩形性質CD⊥DE，從而有一個斜率關系，代入可求出D點坐標，從而求出直線DE；
（3）在第二問的基礎上繼續延伸，使其成正方形，要求C′D=DE就可以了，列出方程解出直線DE解析式，再求出邊長就解決問題了．
解答：解：（1）設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（4，8），C（0，5），
∴，
解得k=，b=5，
∴直線AC的解析式為：y-5=x，即y=x+5；

（2）如圖1，設D（m，0），
∵，DE∥AC，AC⊥CD，
∴k=，k_CD=-，
又C（0，5），D（m，0），
∴，
∴m=，
∴點D（，0）代入y=x+b，
∴b=-；

（3）如圖2，假設存在這樣的正方形則由題意：將直線AC作向下平移，
則可設直線AC的解析式為：y=x+5+c，
∵A′C′∥DE，
∴k=直線DE的解析式為：y=x+b，
令y=0，得x=b，
設D（b，0），C′（0，5+c），
又∵E點橫坐標為4，
∴E（4，3+b），
則OD=-b，BD=4+b，BE=3+b，OC′=5+c，
∵由題意使四邊形C′DEF′成為正方形，
∴DO=BE，OC′=DB，
則，
解得：
∴邊長為=，
∴正方形的面積S=．
點評：此題考查一次函數基本性質，待定系數求解析式，簡單的幾何關系，但實質考查計算能力，解方程組．第三問探討存在性問題，間接考查了正方形的性質．