Question

已知：如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦AB切小圓于C點，AB=12cm．求兩個圓之間的圓環面積．

Answer 1

分析：連接OC，OA，由大圓的弦與小圓相切，利用切線的性質得到OC與AB垂直，再根據垂徑定理，由垂直得到C為AB的中點，根據AB的長求出AC的長，可設大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，在直角三角形AOC中，根據勾股定理求出R²-r²的值，然后由大圓的面積減去小圓的面積表示出圓環的面積，將求出R²-r²的值代入即可求出圓環的面積．

解答：解：連接OA，OC，
∵大圓的弦AB切小圓于C點，
∴OC⊥AB，又AB=12cm，
∴C為AB的中點，即AC=BC=

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AB=6cm，
設大圓的半徑為Rcm，小圓的半徑為rcm，
在直角三角形AOC中，OA=Rcm，OC=rcm，AC=6cm，
根據勾股定理得：OA²=AC²+OC²，即R²=r²+36，
∴R²-r²=36，
則兩圓之間的圓環面積S=πR²-πr²=36π．

點評：此題考查了切線的性質，垂徑定理，勾股定理，以及圓的面積公式，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．