Question

如圖，菱形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，DA上，且AE=AH=BF=DG=x，設(shè)四邊形EFGH的面積為S．
（1）求證：△BEF≌△DHG；
（2）已知∠B=60°，AB=2，當x變化時，S是變量還是常量？如果是變量，寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式，如果是常量，請說明理由，并求出S的值；
（3）已知EH=EF=5，F(xiàn)G=11，求AB的長及tanB的值．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)得出BE=DH，∠B=∠D，AB=AD=BC=CD，進而利用SAS得出△BEF≌△DHG；
（2）首先得出四邊形ABFH是平行四邊形，同理可得出：四邊形HFCD也為平行四邊形，則S=

1

2

（S_ABFH+S_HFCD）=

1

2

S_菱形求出即可；
（3）由圖形的軸對稱性且EH＜FG可知四邊形EFGH為等腰梯形，利用EH=EF=5，F(xiàn)G=11，得出MG=3，利用勾股定理可得梯形的高HM=4，利用勾股定理求得AB的長，
，進而利用等邊對等角得出∠B=∠1+∠2=∠4+∠5=∠EFG，即tanB=tan∠EFG求出即可．

解答：（1）證明：∵在菱形ABCD中，
∴∠B=∠D，AB=AD=BC=CD，
∵點E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，DA上，且AE=AH=BF=DG=x，
∴BE=DH，
在△BEF和△DHG中，

BE=DH ∠B=∠H BF=DG

，
∴△BEF≌△DHG（SAS）；

（2）解：是常量，
連HF，∵AH

∥

.

BF，
∴四邊形ABFH是平行四邊形，
同理可得出：四邊形HFCD也為平行四邊形，
∴S=

1

2

（S_ABFH+S_HFCD）=

1

2

S_菱形=

1

2

×2×

3

=

3

；

（3）解：過點H作HM⊥FG于點M，
由圖形的軸對稱性且EH＜FG可知四邊形EFGH為等腰梯形，
∵EH=EF=5，F(xiàn)G=11，
∴MG=3，
利用勾股定理可得梯形的高HM=4，
∵AH

∥

.

BF，
∴四邊形ABFH是平行四邊形，
利用勾股定理求得AB=FH=

64+16

=4

5

，
∵AE=AH，AB∥FH，
∴∠1=∠2=∠3，
又∵EH=EF，EH∥FG，
∴∠3=∠4=∠5，
∴∠1=∠2=∠4=∠5，
∴∠B=∠1+∠2=∠4+∠5=∠EFG
∴tanB=tan∠EFG=

4

3

．

點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等腰梯形的性質(zhì)和勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用圖象得出對應(yīng)角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．