Question

如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經過點C且與邊AB相切的動圓與CA，CB分別相交于點P，Q，則線段PQ長度的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：設QP的中點為F，圓F與AB的切點為D，連接FD，連接CF，CD，則有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三邊關系知，CF+FD＞CD；只有當點F在CD上時，FC+FD=PQ有最小值為CD的長，即當點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時CD=BC•AC÷AB=4.8．
解答：解：如圖，∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴PQ是⊙F的直徑，
設QP的中點為F，圓F與AB的切點為D，連接FD，連接CF，CD，則FD⊥AB．
∴FC+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，
∵當點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，PQ=CD有最小值
∴CD=BC•AC÷AB=4.8．
故答案為4.8．
點評：本題利用了切線的性質，勾股定理的逆定理，三角形的三邊關系，直角三角形的面積公式求解．