Question

如圖，已知△ABC中，點D、F、E分別是AB、BC、AC的中點．
（1）試說明：AF與DE互相平分；
（2）當△ABC的邊或角滿足什么條件時，AF與DE相等？說明理由；
（3）當△ABC的邊或角滿足什么條件時，AF與DE垂直？說明理由．

Answer 1

解：（1）連接DF、EF．
∵點D、F、E分別是AB、BC、AC的中點，
∴DF∥AC，EF∥AB．
∴ADFE是平行四邊形．
∴AF與DE互相平分；

（2）∵DE=BC，
∴若AF=DE，則AF=BC，
又AF是中線，
所以可得∠BAC=90°．
即當∠BAC=90°時，AF與DE相等；

（3）∵AF與DE互相平分，
∴若AF與DE垂直，則AD=AE．
又D、E分別是AB、AC的中點，
∴AB=AC．
即當AB=AC時，AF與DE垂直．
分析：（1）連接DF、EF．根據中位線定理證明ADFE是平行四邊形；
（2）用分析法找條件．因為DE=BC，若AF=DE，則AF=BC，又AF是中線，所以可得∠BAC=90°；
（3）因為ADFE是平行四邊形，若AF與DE垂直，則ADFE是菱形，有AD=AE．又D、E分別是AB、AC的中點，得AB=AC．
點評：本題考查的知識比較全面，需要用到三角形中位線定理和平行四邊形的性質，以及直角三角形的一種判定方法：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形．