Question

已知如圖1，Rt△ABC和Rt△ADE的直角邊AC和AE重疊在一起，AD＝AE，∠B＝30°，∠DAE＝∠ACB＝90°.

（1）如圖1，填空：∠BAD＝        ；＝          ；

（2）如圖2，將△ADE繞點A順時針旋轉，使AE到AB邊上，∠ACH＝∠BCH，連接BH，求∠CBH的度數；

（3）如圖3，點P是BE上一點，過A、E兩點分別作AN⊥PC、EM⊥PC，垂足分別為N、M，若EM＝2，AN＝5，求△AND的面積.

 

Answer 1

（1）150º，；…………(2分)

（2）連結CE、AH，如圖2，先證等邊△ACE，

得AE＝AC，∠AEC＝∠ACE＝60º…(3分)

而∠AEH＝∠ACH＝45º ∴∠HEC＝∠HCE＝15º

∴HE＝HC……………………………(4分)

再證△AEH≌△ACH ………………… (5分)

∴AH平分∠BAC，又CH平分∠ACB，∴BH平分∠ABC，則∠CBH＝15º (6分)

（3）如圖3，作EF⊥AN于F，DG⊥AN于G，可得矩形MEFN………… (7分)

可證△AEF≌△DAG……………………………………………………… (8分)

∴DG＝AF＝AN－EM＝5－2＝3. ……………………………………… (9分)

∴S△AND＝AN•DG＝×5×3＝……………………………………… (10分

解析:（1）先求出∠BAC的度數，然后得出∠BAD的度數，先求BC、CD等于多少CA，然后就能求出的值；

（2）連結CE、AH， 先證等邊△ACE，然后再證△AEH≌△ACH，得出H點是內心，從而解出∠CBH的值；

（3）先證△AEF≌△DAG，然后利用邊的關于求出DG，再利用三角形的面積公式求出。