Question

如圖，⊙P內含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于點C，且AB∥OP．若陰影部分的面積為16π，則弦AB的長為（ ）

A．4
B．6
C．8
D．10

Answer 1

【答案】分析：連接PC，由AB為圓P的切線，根據切線的性質得到PC與AB垂直，連接OA，過O作OD垂直于AB，由垂徑定理得到D為AB的中點，由OD和PC都與AB垂直，得到OD與PC平行，由OP與AB平行，可得出四邊形ODPC為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等可得OD=PC，又陰影部分的面積用圓O的面積減去圓P的面積，表示出陰影部分的面積，在直角三角形AOD中，利用勾股定理表示出三邊的關系，變形后代入表示出的陰影部分面積，再根據陰影部分的面積可得出AD的長，進而確定出AB的長．
解答：解：連接PC，可得PC⊥AB，再連接OA，過O作OD⊥AB，交AB于點D，如圖所示：

∵PC⊥AB，OD⊥AB，
∴∠ODC=∠PCB=90°，
∴PC∥OD，又AB∥OP，
∴四邊形OPCD為平行四邊形，
∴PC=OD，
又∵OD⊥AB，
∴D為AB的中點，即AD=BD=AB，
∵在Rt△OAD中，根據勾股定理得：OA²=OD²+AD²，即OA²-OD²=AD²，
且S_陰影=16π，
∴S_陰影=π•OA²-πPC²=π•OA²-πOD²=π（OA²-OD²）=πAD²=16π，
∴AD²=16，即AD=4，
則AB=2AD=8．
故選C
點評：此題考查了切線的性質，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，平行四邊形的判定與性質，以及陰影部分面積的求法，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．