Question

如圖，已知直線分別與y軸，x軸交于A，B兩點，點M在y軸上，以點M為圓心的圓M與直線AB相切于點D，連結MD.

(1)求證：∽;                             

(2)如果圓M的半徑為，請求出點M的坐標，并寫出以為頂點，且過點M的拋物線的解析式;

(3)在（2）的條件下，試問此拋物線上是否存在點P，使得以P、A、M三點為頂點的三角形與相似，如果存在，請求出所有符合條件的點P的坐標，如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

 

（1）略

（2）

（3）見解析

解析:（1）略

（2）A（0，12），B（6，0），AB＝6

由△ADM∽△AOB得：

即

∴AM＝10

∴M（0，2）

拋物線解析式為：

（3）由題已知：△PAM與△ADM相似

①當∠PAM＝90°時，此時△PAM與△ADM不相似，這樣的點P不存在

②當∠P₁MA＝90°時，則點P縱坐標為2，由得

（舍），此時△PAM∽△BAO，P₁（－5，2）

③過點M作MP₂∥AB交拋物線于P₂，則P₂（－4，10），此時∠AP₂M＝90°，

△AP₂M∽△MDA

作點D關于軸對稱點P3，其坐標為：（－4，4），此時△AP3M∽△ADM，但點P₃不在一拋物線上

故P（－4，10），（－5，2）