Question

（2013年四川資陽9分）如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A，B兩點，與雙曲線（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點．

（1）若點D的坐標為（4，1），點E的坐標為（1，4）：

①分別求出直線l與雙曲線的解析式；

②若將直線l向下平移m（m＞0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？

（2）假設點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①把D（4，1）代入得a=1×4=4，

∴反比例函數解析式為（x＞0）。

設直線l的解析式為y=kx+t，

把D（4，1），E（1，4）代入得，解得。

∴直線l的解析式為y=﹣x+5。

②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y=﹣x+5﹣m，

當方程組只有一組解時，直線l與雙曲線有且只有一個交點，

化為關于x的方程得x²+（5﹣m）x+4=0，

△=（m﹣5）²﹣4×4=0，解得m₁=1，m₂=9。

而m=9時，解得x=﹣2，故舍去。

∴當m=1時，直線l與雙曲線有且只有一個交點。

（2）如圖，作DF⊥x軸于點F，

∵點D為線段AB的n等分點，∴DA：AB=1：n。

∵DF∥OB，∴△ADF∽△ABO。

∴，即。

∴。∴OF=。

∴D點坐標為（，）。

把D（，）代入得（）•=a，解得。

【解析】（1）①運用待定系數法可分別得到直線l與雙曲線的解析式。

②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y=﹣x+5﹣m，根據題意得方程組只有一組解時，化為關于x的方程得x²+（5﹣m）x+4=0，則△=（m﹣5）²﹣4×4=0，解得m₁=1，m₂=9。當m=9時，公共點不在第一象限，所以m=1。

（2）作DF⊥x軸，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根據相似比可得到，則D點坐標為（，），然后把D點坐標代入反比例函數解析式中即可得到b的值。　

考點：反比例函數綜合題，待定系數法點的應用，曲線上點的坐標與方程的關系，一元二次方程根的判別式，相似三角形的判定和性質。