Question

如圖①，已知△ABC和△ACD是兩個全等的等邊三角形，用它們拼成四邊形ABCD．
（1）四邊形ABCD是什么特殊的四邊形，說明理由；
（2）分別延長△ABC的邊AB，AC到M，N，使AM=AN，連接MN得到△AMN，再將△AMN繞點A按逆時針方向旋轉40°，其邊與四邊形ABCD的兩邊BC，CD分別相交于點E，F，請你探索線段BE與CF之間的數量關系，并說明理由；
（3）按（2）的操作，若將△AMN繞點A按逆時針方向旋轉α角（60°＜α＜80°），其邊與四邊形ABCD的兩邊BC，CD的延長線分別相交于點E，F，在圖②中畫出圖形，判斷此時（2）中的結論是否成立，并說明理由．

Answer 1

解：（1）四邊形ABCD是菱形．
理由如下：∵△ABC和△ACD是兩個全等的等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
AD=CD=AC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）BE=CF．
理由如下：∵△ABC和△ACD是兩個全等的等邊三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
由旋轉的性質，∠BAE=∠CAF=40°，
∵在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；

（3）如圖，BE=CF．
理由如下：∵△ABC和△ACD是兩個全等的等邊三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
由旋轉的性質，∠BAE=∠CAF，
∵在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF．
分析：（1）根據四條邊都相等的四邊形是菱形解答；
（2）根據等邊三角形的性質可得AB=AC，∠B=∠ACD=60°，根據旋轉的性質可得∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，再根據全等三角形對應邊相等即可得解；
（3）作出圖形，然后與（2）的求解思路相同．
點評：本題考查了旋轉的性質，菱形的判定，全等三角形的判定與性質，熟練掌握旋轉的性質找出三角形全等的條件是解題的關鍵，此類題目各小問求解的思路基本相同是最大的特點．