Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，以BC為邊向正方形內部作等邊△BCE．連接AE．DE，連接BD交CE于F，下列結論：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝④△BEC的面積：△BFC的面積（+1）：2，其中正確的結論有（　　）個．

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用正方形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質及三角形的內角和，周角求得判定即可；
②由①可得到∠ADE的度數，再利用正方形的性質即可得∠DEF=∠ABE，即可判定；
③可利用含30°的直角三角形的性質即可分別求出，再與tan∠ECD=tan30°作比較即可；
④兩個三角形的底相同，由高的比進行判定即可.

∵△BEC為等邊三角形

∴∠EBC＝∠BCE＝∠ECB＝60°，AB＝EB＝EC＝BC＝DC

∵四邊形ABCD為正方形

∴∠ABE＝∠ECD＝90°﹣60°＝30°

∴在△ABE和△DCE中，

AB＝DC

∠ABE＝∠ECD

BE＝EC

∴△ABE≌△DCE（SAS）

∴∠AEB＝∠DEC＝＝75°

∴∠AED＝360°﹣60°﹣75°×2＝150°

故①正確

由①知AE＝ED

∴∠EAD＝∠EDA＝15°

∴∠EDF＝45°﹣15°＝30°

∴∠EDF＝∠ABE

由①知∠AEB＝∠DEC，

∴△DEF～△BAE

故②正確

過點F作FM⊥DC交于M，如圖

設DM＝x，則FM＝x，DF＝x

∵∠FCD＝30°

∴MC＝x

則在Rt△DBC中，BD＝

∴BF＝BD﹣DF＝

則

∵tan∠ECD＝tan30°＝

∴tan∠ECD＝

故③正確

如圖過點E作EH⊥BC交于H，過F作FG⊥BC交于G，得

由③知MC＝，MC＝FG

∴FG＝

∵BC＝DC＝x

∴BH＝

∵∠EBC＝60°

∴EH＝

∴

故④正確

故選：A．