Question

已知：如圖，拋物線y=x²-2x+3與y軸交于點A，頂點是點P，過點P作PB⊥x軸于點B．平移該拋物線，使其經過A、B兩點．
（1）求平移后拋物線的解析式及其與x軸另一交點C的坐標；
（2）設點D是直線OP上的一個點，如果∠CDP=∠AOP，求出點D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線解析式求出點A、B、P的坐標，再根據平移變換不改變拋物線的形狀，設平移后的拋物線解析式為y=x²+bx+c，然后把點A、B的坐標代入求出b、c的值，從而得到平移后的拋物線解析式，再令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點C的坐標；
（2）先求出直線OP的解析式，然后分點D在第一象限時，根據內錯角相等兩直線平行求出CD₁∥y軸可得CD₁⊥x軸，從而求出點D的橫坐標坐標是3，然后代入直線OP的解析式，計算即可求出點D₁的坐標；點D在第三象限時，求出∠CD₁P=∠CD₂P，根據等角對等邊可得CD₁=CD₂，設D₂（x，2x），然后利用勾股定理列式計算求出x的值，即可得解．
解答：解：（1）令x=0，則y=3，
∴點A的坐標為（0，3），
∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴頂點P（1，2）、B（1，0），
設平移后拋物線的解析式為y=x²+bx+c，
將點A（0，3）、B（1，0）的坐標代入得，，
解得，
∴平移后拋物線的解析式為拋物線y=x²-4x+3，
令y=0，則x²-4x+3=0，
解得，x₁=1，x₂=3，
所以，點C（3，0）；

（2）如圖，直線OP過P（1，2），
所以，直線OP解析式為y=2x，
①點D在第一象限時，∵∠CD₁P=∠AOP，
∴CD₁∥y軸，
∴CD₁⊥x軸，
∴點D的橫坐標與點C的橫坐標相同，都是3，
x=3時，y=2×3=6，
∴點D₁（3，6），
②點D在第三象限時，
∵∠CD₁P=∠AOP，∠CD₂P=∠AOP，
∴∠CD₁P=∠CD₂P，
∴CD₁=CD₂，且CD₂=CD₁=6，
設D₂（x，2x），則=6，
整理得，5x²-6x-27=0，
解得x₁=3（為點D₁，舍去），x₂=-，
所以，點D₁（3，6）、D₂（-，-）．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，平移只改變只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質，平行線的判定與性質，等角對等邊的性質，綜合題，但難度不大，（2）要注意分情況討論．