Question

如圖，等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上，頂點C在y軸正半軸上，B（4，2），一次函數y=kx-1的圖象平分它的面積，關于x的函數y=mx²-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標軸只有兩個交點，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：過B作BE⊥AD于E，連接OB、CE交于點P，根據矩形OCBE的性質求出B、P坐標，然后再根據相似三角形的性質求出k的值，將解析式y=mx²-（3m+k）x+2m+k中的k化為具體數字，再分m=0和m≠0兩種情況討論，得出m的值．
解答：解：過B作BE⊥AD于E，連接OB、CE交于點P，
∵P為矩形OCBE的對稱中心，則過點P的直線平分矩形OCBE的面積．
∵P為OB的中點，而B（4，2），
P點坐標為（2，1），
在Rt△ODC與Rt△EAB中，OC=BE，AB=CD，
Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），Rt△ODC≌Rt△EBA，
∵P點坐標為（2，1），點P在直線y=kx-1上，
∴2k-1=1，k=1，
過點（0，-1）與P（2，1）的直線平分等腰梯形面積，這條直線為y=kx-1．
2k-1=1，則k=1．
∵關于x的函數y=mx²-（3m+1）x+2m+1的圖象與坐標軸只有兩個交點，
∴①當m=0時，y=-x+1，其圖象與坐標軸有兩個交點（0，1），（1，0）；
②當m≠0時，函數y=mx²-（3m+1）x+2m+1的圖象為拋物線，且與y軸總有一個交點（0，2m+1），
若拋物線過原點時，2m+1=0，
即m=-，此時，△=（3m+1）²-4m（2m+1）=（m+1）²≥0，
故拋物線與x軸有兩個交點且過原點，符合題意．
若拋物線不過原點，且與x軸只有一個交點，也符合題意，此時△=（m+1）²=0，m=-1．
綜上所述，m的值為：m=0或-1或-．
點評：此題考查了拋物線與坐標軸的交點，同時結合了梯形的性質和一次函數的性質，要注意數形結合，同時要進行分類討論，得到不同的m值．