Question

如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形（點M的位置改變時，△DMN也隨之整體移動）．
（1）如圖1，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數量關系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；
（2）如圖2，當點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；
（3）若點M在點C右側時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，不必證明或說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過全等三角形來證明EN與MF相等，如果連接DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位線，可得出三角形ADE，BDF，DFE，FEC都是等邊三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，而∠MDN和∠FDE都是60°加上一個∠NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）．由此可得出EN=MF，∠DNE=∠DMB，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM≌三角形DFN，因此∠DFN=∠DBM=120°，因此∠DFN是三角形DFE的外角因此N，F，E在同一直線上．
（2）（3）證法同（1）都要證明三角形MDF和EDN全等，證明過程中都要作出三角形的三條中位線，然后根據三條中位線分成的小等邊三角形的邊和角相等來得出兩三角形全等的條件，因此結論仍然成立．
解答：解：（1）判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點F在直線NE上，

（2）成立．
連接DF，NF，證明△DBM和△DFN全等（AAS），
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三邊的中點，
∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN，
在△DBM和△DFN中，
∵，
∴△DBM≌△DFN，
∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，
∴NF∥BD，
∵E，F分別為邊AC，BC的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BD，
∴F在直線NE上，
∵BF=EF，
∴MF=EN．

（3）如圖③，MF與EN相等的結論仍然成立（或MF=NE成立）．
連接DF、DE，
由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，
在△DNE和△DMF中，
∴
∴△DNE≌△DMF，
∴MF=NE．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質/三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質等知識點，根據等邊三角形的性質以及三角形中位線定理得出全等三角形的條件是解題的關鍵．